一、目标函数：利润最大化
二、利润最大化必要条件
1、内点解
（1）单要素情况：
（2）双要素情况：
2、角点解：
即存在投入水平为0的要素。即X>=0。我们结合该约束条件构建拉格朗日函数：
可知，当投入生产要素为0时，其边际产出价值： 必然小于该要素价格。
注意：这里的p为产品价格，为边际产量，两者相乘为边际价值。
三、要素需求函数的性质
1、厂商要素需求：
; 厂商产品供给：。
产品供给为要素需求的函数；要素需求为要素价格、产品价格的函数。
2、要素需求函数是要素价格的减函数
（1）利润最大化的一二阶必要条件
（2）一阶必要条件等式对要素价格 求导，得
又已知二阶必要条件等式
因此，要素需求函数对要素价格的导数小于0，即要素需求是要素价格的减函数。
3、要素需求函数为产品价格的增函数
（1）同样根据利润最大化的一二阶必要条件：
（2）等式(2.8)对产品价格p求导：
整理得，
又根据一阶必要条件知
根据二阶必要条件知 ，得
可知要素需求函数为产品价格的增函数。
4、双要素情况：要素需求为其价格的减函数
（1）根据利润函数对产品价格求一阶导：
（2）对要素1价格求一阶偏导 ：
（3）对要素2价格求一阶偏导 ：
（4）写成矩阵形式：
求逆，得
已知利润最大化的二阶必要条件为：生产函数的海赛矩阵为半负定的
因此得等式左侧矩阵为半负定的，其主对角线元素为负值，即：
得要素需求为其价格的减函数。
5、双要素情况：要素价格的交叉效应对称
又知生产函数的海赛矩阵为对称矩阵，即f12=f21，因此左侧矩阵同样为对称矩阵，得：
因此，要素i需求量对要素j价格的弹性 等于 要素j需求量对要素i价格的弹性，即要素价格的交叉效应对称。
四、利润函数
将厂商所能达到的最大利润定义为其利润函数
1、利润函数的性质
（1）是产品价格p的增函数，是每一要素价格的减函数；
（2）是的一次齐次函数：；
（3） 是的凸函数。
2、证明：是产品价格p的增函数
（1）设要素需求函数，设
（2）根据利润函数定义：
知
（3）因为为利润最大化的解，因此大于任何利润函数，注意只改变X(p,w)的值
得
（4）又根据知，，
即
（5）最终得，，证明为产品价格p的增函数。
3、证明： 是每一要素价格的减函数
（1）同理设
得
因为为利润最大化的解，因此其利润函数大于任何利润，仍然只改变X(p,w)的值
得
即，证明 是每一要素价格的减函数。
4、证明：利润函数为一次齐次函数
设为利润最大化问题的解，因此其大于所有利润函数
两边同乘t，得
因此X(p,w)为下述最大化问题的解：
写出PI(tp, tw)的函数，将t提取出来，即得证。
5、证明：利润函数为(p,w)的凸函数